设z1是虚数，z2=z1+1/z1是实数，且-1≤z2≤1。①求|z1|的值以及的实部的取值范围；②若ω=1-z1/1+z1，求证：ω为纯虚数。

设1设z1=a+bi
因为z1是虚数，所以b≠0

z2=z1＋(1/z1)
=a+bi+1/(a+bi)
=a+bi+(a-bi)/(a+bi)(a-bi)
=a+bi+(a-bi)/(a²+b²)
=a+a/(a²+b²)+(a²b+b³-b)i/(a²+b²)
因为z2是实数，所以虚部为0
(a²b+b³-b)/(a²+b²)=0
a²b+b³-b=0
b(a²+b²-1)=0
因为b≠0
所以a²+b²-1=0
a²+b²=1
所以|z1|=√(a²+b²)=1
z2=a+a/(a²+b²)=2a
因为－1≤z2≤1
所以－1≤2a≤1
-1/2≤a≤1/2

所以|z1|=1，z1的实部范围为-1/2≤a≤1/2

2
ω=(1-z1)/(1+z1)
=(1-a-bi)/(1+a+bi)
=(1-a-bi)(1+a-bi)/(1+a+bi)(1+a-bi)
=[(1-bi)-a][(1-bi)+a]/[(1+a)+bi][(1+a)-bi]
=[(1-bi)²-a²]/[(1+a)²+b²]
=(1-b²-2bi-a²)/(1+2a+a²+b²)
=[1-(a²+b²)-2bi]/[1+2a+(a²+b²)]
因为a²+b²=1
所以ω=(0-2bi)/(2+2a)
ω=-bi/(1+a)
所以ω为纯虚数