计算I=?Sgrad（yz+zx+xy+x+y+z）?dS，其中S为z=R2?x2?y2（R＞0）的上侧
计算I=?Sgrad（yz+zx+xy+x+y+z）?dS，其中S为z=R2?x2?y2（R＞0）的上侧．
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回答者：网友
由于grad（yz+zx+xy+x+y+z）=（y+z+1，x+z+1，x+y+1）
∴I=?Sgrad（yz+zx+xy+x+y+z）?dS
=∫∫S(y+z+1)dydz+(x+z+1)dzdx+(x+y+1)dxdy
补充平面S1：z＝0(x2+y2360问答≤1)，取下侧
设Ω是由曲面S和S1所围成的封闭立体，则
Ω＝{(x，y，z)|0≤z≤R2?x2?y2}，
设S在xoy面的投影为D，则
D={（x，y）|x2+y2≤R2}
∴由高斯公式，得
I＝∫白杨消帝显品龙体美∫S+S1?∫∫S1
=载田从∫∫∫Ω[(y+z+1)都双动上x+(x+z+1)y+(故蒸击附损晚x+y+1)]zdxdydz+∫∫D(x+y+1)dxdy
=0+∫∫Ddxdy＝πR2
